【高校物理：力学】自由落下と放物運動

図6

　この運動が描く軌道は高校数学で学ぶ2次関数の放物線となります。空気抵抗があるので実際には少し違いますが高校物理では空気抵抗を無視するので2次関数として考えて良いです。\(\boldsymbol{x}\)軸方向の速度と重力加速度は一定で、地上から最高点までに到達する時間と最高点から地上まで落下する時間は等しいため放物運動の軌道は左右対称になります。5章でこのことを確認します。

4.例題

問題

　図6のような放物運動を考える。\(\boldsymbol{y}\)軸方向の最高点\(h\)と、物体が地上(\(\boldsymbol{y}=0\))に戻ってきたときの時刻\(t_2\)、\(\boldsymbol{x}\)軸方向の距離\(L\)を求めよ。また、\(L\)が最大になる角度\(\theta\)を求めよ。

解説

　公式を再掲します。答えの部分は赤く表示しています。

$$\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v_0}+\boldsymbol{a}t \tag{1}$$

$$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x_0}+\boldsymbol{v_0}t+\frac{1}{2}\boldsymbol{a}t^2\tag{2}$$

$$2\boldsymbol{a}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_0})=\boldsymbol{v}^2-\boldsymbol{v_0}^2\tag{3}$$

　まず最高点\(h\)を求めます。時刻を求める必要がないので式(3)を使います。初期位置と最高点の速度が0になります。

$$-2\boldsymbol{g}(h-0)=0-(\boldsymbol{v_0}\mathrm{sin}\theta)^2$$

$$h=\frac{\boldsymbol{v_0}^2\mathrm{sin}^2\theta}{2\boldsymbol{g}}\tag{a-1}$$

　次に時刻\(t_2\)を求めます。\(t_2\)の時鉛直方向の位置が0[m]となることから式(2)を使います。

$$0=0+\boldsymbol{v_0}\mathrm{sin}\theta t-\frac{1}{2}\boldsymbol{g}t^2$$

$$0=t(\boldsymbol{v_0}\mathrm{sin}\theta-\frac{1}{2}\boldsymbol{g}t)$$

$$t=0,\frac{2\boldsymbol{v_0}\mathrm{sin}\theta}{\boldsymbol{g}}\tag{a-2}$$

　時間が2つ求まっています。\(t\)=0[s]は一番最初の状態です。位置が0[m]となるのは初期状態と落下してきた時の2回あるのでそのことを表しています。今求めたい\(t_2\)は\(\frac{2\boldsymbol{v_0}\mathrm{sin}\theta}{\boldsymbol{g}}\)の方でこれが答えです。今回は式(2)で解きましたが、落下してきた時の速度は初速度と大きさが同じ符号が逆で号が逆になるので速度を\(-\boldsymbol{v_0}\mathrm{sin}\theta\)とすることで式(1)を使っても解けます。

　今求めた\(t_2\)を使って\(L\)を求めます。\(\boldsymbol{x}\)軸方向の式(2)にそのまま代入するだけです。

$$L=0+\boldsymbol{v_0}\mathrm{cos}\theta t_2+0$$

$$L=\frac{2\boldsymbol{v_0}^2\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\theta}{\boldsymbol{g}}\tag{a-3}$$

　ここで倍角の公式を使います。

$$\mathrm{sin}2\theta=2\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\theta\tag{a-4}$$

　これを式(a-3)に代入します。

$$L=\frac{\boldsymbol{v_0}^2\mathrm{sin}2\theta}{\boldsymbol{g}}\tag{a-5}$$

　\(\mathrm{sin}2\theta\)は\(\theta\)=45°の時に最大値1となります。\(L\)が最大となる角度は45°でその大きさは式(a-6)になります。

$$L=\frac{\boldsymbol{v_0}^2}{\boldsymbol{g}}\tag{a-6}$$

　これが飛距離が最大となる角度の計算です。真空中であれば45°で初速度を与えると飛距離が最大となります。実際には空気抵抗があるので45°より小さい角度で飛距離が最大となるようです。

5.放物運動を2次関数で表す

　おまけです。例題の放物運動を\(\boldsymbol{x}\)-\(\boldsymbol{y}\)座標で表してみます。ここまでは\(\boldsymbol{x}\)軸方向の運動と\(\boldsymbol{y}\)軸方向の運動を時間\(t\)を使って2つの運動に分けて考えていました。時間\(t\)を消去して\(\boldsymbol{x}\)と\(\boldsymbol{y}\)の関係式を求めます。初期位置を原点として各軸の位置を式(2)より表します。

$$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{v_0}\mathrm{cos}\theta t\tag{b-1}$$

$$\boldsymbol{y}=\boldsymbol{v_0}\mathrm{sin}\theta t-\frac{1}{2}\boldsymbol{g}t^2\tag{b-2}$$

　式(b-1)から時間\(t\)を求めて式(b-2)に代入します。平方完成をして2次関数の頂点の座標を求めてみます。

$$\begin{align}\boldsymbol{y}&=\boldsymbol{v_0}\mathrm{sin}\theta\frac{\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{v_0}\mathrm{cos}\theta}-\frac{1}{2}\boldsymbol{g}\frac{\boldsymbol{x}^2}{\boldsymbol{v_0}^2\mathrm{cos}^2\theta}\\
&=-\frac{\boldsymbol{g}}{2\boldsymbol{v_0}^2\mathrm{cos}^2\theta}(\boldsymbol{x}^2-\frac{2\boldsymbol{v_0}^2\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\theta}{\boldsymbol{g}}\boldsymbol{x})\\
&=-\frac{\boldsymbol{g}}{2\boldsymbol{v_0}^2\mathrm{cos}^2\theta}(\boldsymbol{x}-\frac{\boldsymbol{v_0}^2\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\theta}{\boldsymbol{g}})^2+\frac{\boldsymbol{g}}{2\boldsymbol{v_0}^2\mathrm{cos}^2\theta}\frac{\boldsymbol{v_0}^4\mathrm{sin}^2\theta\mathrm{cos}^2\theta}{\boldsymbol{g}^2}\\
&=-\frac{\boldsymbol{g}}{2\boldsymbol{v_0}^2\mathrm{cos}^2\theta}(\boldsymbol{x}-\frac{\boldsymbol{v_0}^2\mathrm{sin}2\theta}{2\boldsymbol{g}})^2+\frac{\boldsymbol{v_0}^2\mathrm{sin}^2\theta}{2\boldsymbol{g}}\tag{b-3}\end{align}$$

　物理では放物運動について\(\boldsymbol{x}\)と\(\boldsymbol{y}\)の関係を直接表すことはあまりないですが、式(b-3)のように表すことができます。図7のように上に凸の2次関数となり、頂点の座標は\((\frac{\boldsymbol{v_0}^2\mathrm{sin}2\theta}{2g},\frac{\boldsymbol{v_0}^2\mathrm{sin}^2\theta}{2g})\)です。