波動方程式の導出

図2(再掲)

　ここで導出から離れて式(7)を図2を例に考えてみます。導出が目的の方は飛ばしてください。図2では弦が元の位置に対して上側にある状態です。右側に進むにつれて傾きが小さくなっています。この場合\(\theta_{1}\)は\(\theta_{2}\)より大きくなるため、\(T_{1}\)は\(T_{2}\)より大きくなります。したがって下向きの力\(F\)が働きます。式(7)の\(\frac{\partial^2 u(x)}{\partial x^2}\)は傾きの変化を表しています。傾きの変化が負ということは\(\frac{\partial^2 u(x)}{\partial x^2}\)が負になり、\(F\)は下向きに働くことになります。逆に弦が下側にある場合は傾きの変化が正になり、上向きの力が働きます。弦の位置と逆向きに力が働くことになり、この力が中心に戻そうとする復元力になって単振動になります。弦が上側、または下側に動いていきどこかで動きが止まります。この位置が変位の最大値で振動の振幅です。また、傾きと傾きの変化も最大になり鉛直方向の力\(F\)も最大になります。ここから動き始めて加速していき中心で速度が最大になります。この位置では傾きは0なので力も0になります。

　ここまで張力の鉛直成分について考えましたが、点Aと点Bは\(\Delta x\)離れているためモーメントが働きます。上側では左回り、下側では右回りのモーメントになっており、\(F\)と同様に変位が大きくなるほどモーメントも大きくなります。弦の微小要素は上下の運動だけではなく傾きが変化しながら動いていて、モーメントが働くことで回転運動を含む動きになっています。

　導出に戻って、垂直方向の運動方程式を立ててここで求めた鉛直方向の力を代入します。

2.2 弦の微小要素の運動方程式を立てて鉛直方向に働く力\(F\)を代入する

　弦の微小要素に働く張力について水平方向は釣り合っていたので、鉛直方向について運動方程式を立てます。微小要素の質量を\(m\)とすると式(8)になります。

$$F=m\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \tag{8}$$

　傾きが微小なので\(\Delta l\)を\(\Delta x\)とみなしてもいい気もしますが、弦の単位長さ当たりの質量を表す線密度\(\rho\) [kg/m]、AB間の距離\(\Delta l\)を用いて質量\(m\)を計算していきます。

$$m=\rho\Delta l \tag{9}$$

\(\Delta l\)を直線とみなしているので、三平方の定理より\(\Delta l\)は

$$\Delta l=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta u)^2}=\sqrt{1+\bigg(\frac{\Delta u}{\Delta x}\bigg)^2}\Delta x \tag{10}$$

\(\frac{\Delta u}{\Delta x}\)は弦の傾きなので\(\frac{\partial u}{\partial t}\)と変形して式(10)を式(9)に代入。

$$m=\rho\sqrt{1+\bigg(\frac{\partial u}{\partial x}\bigg)^2}\Delta x \tag{11}$$

テイラー展開より根号部分を近似します。\(t=\frac{\partial u}{\partial x}\)と置くと考えやすくなります。

$$m=\rho\bigg\{1+\frac{1}{2}\bigg(\frac{\partial u}{\partial x}\bigg)^2\bigg\}\Delta x \tag{12}$$

\(\theta_{1}\)を微小と仮定しているので傾きは微小になるため、\((\frac{\partial u}{\partial t})^2\)を無視すると式(13)になります。

$$m≒\rho\Delta x \tag{13}$$

これで質量\(m\)が求まりました。これを式(8)に代入します。

$$F≒\rho\Delta x\frac{\partial u}{\partial t^2} \tag{14}$$

この力\(F\)は2.1で求めた張力と等しくなるので、式(7)を代入。

$$\rho\Delta x\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=T\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\Delta x \tag{15}$$

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{T}{\rho}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \tag{16}$$

張力\(T\)の単位は[\(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}/\mathrm{s}^2\)]、密度\(\rho\)は[\(\mathrm{kg}/\mathrm{m^3}\)]。したがって\(T/\rho\)の単位は[\(\mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2\)]となり、速度の2乗になります。\(T/\rho\)を速度\(v\)を使って表すと式(17)となり、式(1)で示した1次元の波動方程式が導かれました。

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \tag{17}$$

　速度\(v\)は位相速度と呼ばれ、波が伝わる速度になります。次に位相速度について考えてみます。

3.変位速度について

　波動方程式の位相速度が波の伝わる速度になるということについて考えた結果をまとめます。式(17)は様々な解を持ちますが、ここでは式(18)のような正弦波を考えます。振幅の大きさを1、\(x\)と\(t\)の係数をそれぞれ\(a\)、\(b\)としています。

$$u=\mathrm{sin}(ax+bt) \tag{18}$$

式(18)を波動方程式に代入して偏微分すると次の関係が得られます。

$$-b^2\mathrm{sin}(ax+bt)=-v^2a^2\mathrm{sin}(ax+bt)$$

$$b^2=v^2a^2$$

$$b=\pm{va}\tag{19}$$

\(b=-va\)を式(18)に代入します。

$$u=\sin a(x-vt) \tag{20}$$

　ここでは詳しく説明しませんが、\(x-vt\)は右向きの波、\(x+vt\)は左向きの波になります。式(20)の波を表したのが図3です。この波の周期を\(T\)、波長を\(\lambda\)として位相速度\(v\)との関係を見ていきます。