【高校物理：力学】等加速度運動の基本公式(+ジャーク)

図2

　図1と同じ図です。ここでは面積に注目します。この図の縦軸は速度\(\boldsymbol{v}\)、横軸は時間\(t\)でなので、式(4)の通りに速度と時間をかけると図2では面積になります。図2の面積は位置を表しています。黄色い領域は第2項の\(\boldsymbol{v_0}t\)を表していて、時間によらず一定の初速度\(\boldsymbol{v_0}\)と時間\(t\)の積なので式(4)そのままです。次に加速度による速度の増加分ですが、投下速度運動では一定の割合で速度が増加するので面積は青い領域の三角形になります。加速度による速度の増加は先ほど説明した通り\(\boldsymbol{a}t\)で、時間は\(t\)なので、その面積は\(\frac{1}{2}\boldsymbol{a}t^2\)になります。式(2)の第3項と同じですね。図2は時間\(t\)と速度\(\boldsymbol{v}\)の関係なので第1項は出てきませんが、初期位置が原点ではない場合\(x_0\)を追加すると式(2)となり時刻\(t\)における位置が求まります。図2は\(\boldsymbol{v}\)-\(t\)グラフなので\(\boldsymbol{x_0}\)は出てきませんが、\(\boldsymbol{x}\)-\(t\)グラフを書くと出てきます。

　式(1)と式(2)は微積を使っても簡単に導出できます。微積を使った記事もそのうち書く予定です。

1.3.時間を消去した式

$$2\boldsymbol{a}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_0})=\boldsymbol{v}^2-\boldsymbol{v_0}^2\tag{3}$$

　\(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_0}\)の部分は運動の前後での位置の変化を表しています。これを変位と呼びます。運動前の点\(\boldsymbol{x_0}\)からみて運動後の点\(\boldsymbol{\boldsymbol{x}}\)への位置ベクトルです。この式は新しいものではなく、式(1)と式(2)から時間\(t\)を消去した式です。式(1)の左辺が\(t\)となるように式変形して、式(2)に代入します。頑張って計算すると式(3)が得られます。余裕がある人は計算してみてください。導出方法からわかるようにこの式では時間\(t\)が無くなっています。問題文で時間が\(t\)出てきていなかったり求める必要がない時にこの式の威力が発揮されます。運動前後の速度と位置の状態がわかれば一発で答えが求まる場面があります。下の例題でそれを確認します。

　式(3)は式(1)、式(2)と比べて意味がわかりずらいと思います。私が受験生の頃はこの式をよくわかっていなくて上手く使えていなかったような気がします。この式の意味としては力学的エネルギー保存則を表しています。初学者の方は何の話かわからないと思うので読み飛ばしてください。これからする内容の記事の時に戻って来れるようにします。式(3)の両辺に\(m\)/2をかけると式(5)になります。

$$m\boldsymbol{a}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_0})=\frac{1}{2}\boldsymbol{v}^2-\frac{1}{2}\boldsymbol{v_0}^2\tag{5}$$

　\(m\boldsymbol{a}\)は運動方程式から力\(\boldsymbol{F}\)になり、それに変位\(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_0}\)をかけているので左辺は仕事になります。右辺は運動エネルギーそのものです。仕事の大きさと運動エネルギーの変化を表す式になります。また、加速度\(\boldsymbol{a}\)を重力加速度\(\mathrm{g}\)にすると左辺は位置エネルギーにとなり、位置エネルギーの変化と運動エネルギーの変化が等しいこと表す式になります。

3.まとめ

3.1.前回の例題解説

例題

　時刻\(t\)=0[s]で静止していた電車が1.5[m/s\(^\mathrm{2}\)]の加速度で動き出し、20[s]の間一定の加速度で運動した。120[s]一定速度で進んだ後、-1[m/s\(^\mathrm{2}\)]の加速度で運動を続けて静止した。静止した時刻\(t_1\)を求め、この運動について加速度\(\boldsymbol{a}\)と時間\(t\)の関係(\(\boldsymbol{a}\)-\(t\)グラフ)、速度\(\boldsymbol{v}\)と時間\(t\)の関係(\(\boldsymbol{v}\)-\(t\)グラフ)をそれぞれグラフに表せ。加速度\(\boldsymbol{a}\)と速度\(\boldsymbol{v}\)を縦軸とし、時間\(t\)を横軸とする。

解説

0～20[s]
　加速度1.5[m/s\(^\mathrm{2}\)]で20[s]加速した時の速度は30[m/s]になります。この間傾き1.5[m/s\(^\mathrm{2}\)]で速度が増加します。加速度は1.5[m/s\(^\mathrm{2}\)]で一定です。

20～140[s]
　速度は先ほど計算した30[m/s]で一定になります。速度が一定なので加速度は0です。

140[s]～
　加速度-1[m/s\(^\mathrm{2}\)]で速度30[m/s]から0[m/s]に変化するのにかかる時間\(\Delta t\)は式(6)を使って求まります。

$$a=\frac{\Delta \boldsymbol{v}}{\Delta t}\tag{6}$$

$$\Delta t=\frac{0-30}{-1}=30[\mathrm{s}]\tag{7}$$

　時刻\(t_1\)はここまでの時間の合計で\(t_1\)=170[s]と求まります(20[s]+120[s]+30[s])。速度は傾き-1[m/s\(^\mathrm{2}\)]で減速し、加速度は-1[m/s\(^\mathrm{2}\)]で一定になります。ここまでをグラフにまとめると図2(\(\boldsymbol{a}\)-\(t\)グラフ)、図3(\(\boldsymbol{v}\)-\(t\)グラフ)になります。